Pembahasan polinomial (Suku Banyak) Buku Erlangga Sukino K13 Halaman 29

• Tentukan koefisien $\displaystyle x^{18}$ dari $\displaystyle\mathrm(1+x^{3}+x^{5}+x^{7})^{100}\tag*{}$

Solusi :

Selintas memang terlihat sulit untuk menyelesaikan soal ini .. namun untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan Multinomial expansion theorem

$\displaystyle(a+b+c+d)^{100}\tag*{}$

=$\displaystyle\sum_{p+q+r+s=100}^{}$ $\displaystyle\binom{100}{pqrs}a^{p}b^{q}c^{r}d^{s}$ $\ldots{(i)}$

Dimana :

$\displaystyle\binom{100}{pqrs}=\frac{100!}{p!q!r!s!}\tag*{}$$\ldots{(ii)}$

dengan, masing masing variabel disesuaikan dengan yang ada di soal, di dapat :

$\displaystyle {a=1,b=x^{3},c=x^{5},d=x^{7}}\tag*{}$

Sehingga

$\displaystyle a^{p}b^{q}c^{r}d^{s}= x^{3q+5r+7s}\tag*{}$

kesamaan ini didapat jika dan hanya jika ketiga variabel bernilai :

$\displaystyle\begin{cases}q=6,r=0,s=0\\q=1,r=3,s=0\\q=2,r=1,s=1\end{cases}\tag*{}$

Kemudian didapat :

$\displaystyle\binom{100}{94,6,0,0}$+ $\displaystyle\binom{100}{96,1,3,0}$ +$\displaystyle\binom{100}{96,2,1,1}$

berdasarkan $pers{(ii)}$ didapat koefisien $x^{18}$ pada ekspansi$\displaystyle(1+x^{3}+x^{5}+x^{7})^{100}$ adalah

$\displaystyle\frac{100!}{94!6!0!0!}+\frac{100!}{96!1!3!0!}+\frac{100!}{96!2!1!1!}$


)10=∑p+q+r+s=10(10p q r s)apbqcrd

• Tentukan koefisien dari $x^{21}$ dari penjabaran
• $\displaystyle(1+x^{5}+x^{7}+x^{9})^{1000}\tag*{}$

Solusi:

• Dalam ekspansi dari $\displaystyle(1+x+x^{2}+...+x^{10})^{3}\tag*{}$ berapakah koefisien dari

• A) $x^{5}$
• B) $x^{8}$

Solusi :

Untuk menyelesaikan tipe soal seperti ini kita bisa lakukan pendekatan 

Kita tahu bahwa :

$\displaystyle(1+x+\ldots+x^{n}) = \frac{1-x^{n}}{1-x}\tag*{}$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{l}} (1-x^{n})^{l}\tag*{}$

Dimana $\displaystyle f(x) = (1+x+\ldots+x^{n})^{l}$

$\displaystyle(1-x)^{-l} =\sum_{k\ge 0}^{} \binom{l+k-1}{k} x^{k} \tag*{}$

$\displaystyle(1-x^{n})^{l} =\sum_{k\ge 0}^{} \binom{l}{k}(-1)^{k}x^{kn}\tag*{}$

$\displaystyle\binom{-n}{k} = \frac{-n(-n-1) \ldots (-n-k+1)}{k!}\tag*{}$

$\displaystyle = (-1)^{k}\frac{n(k-1) \ldots (n+1)^{n}}{k!}\tag*{}$

$\displaystyle =(-1)^{k} \binom{n+k-1}{k}\tag*{}$

Sehingga :

A) $\displaystyle (-1)^{5} \binom{3+5-1}{5}\tag*{}$

$\displaystyle = (-1)\frac{7!}{5!(7-5)!}\tag*{}$

$\displaystyle = -21\tag*{}$

B) $\displaystyle (-1)^{8} \binom{3+8-1}{8}\tag*{}$

$\displaystyle = (1)\frac{10!}{8!(10-8)!}\tag*{}$

$\displaystyle = 45\tag*{}$

• Find the coefficient of $x^{n}$ and $x^{n+r}$, $(1≤n≤r)$ in the expansion of

$\displaystyle(1+x)^{2n}+x(1+x)^{2n-1}+x^{2}(1+x)^{2n-2}$ $\displaystyle+ \ldots+x(1+x)^{2n}\tag*{}$

Solusi :

Misal $\displaystyle[x^{n}]$ menyatakan koefisien dari $\displaystyle x^{n}$

Maka ekspansi di atas dapat dinyatakan sebagai

$\displaystyle [x^{n}] \sum_{k=0}^{n} x^{k}(1+x)^{2n-k}\tag*{}$

$\displaystyle=[x^{n}](1+x)^{n}\sum_{k=0}^{n}(1+x)^{n-k}\tag*{}$

$\displaystyle= [x^{n}](1+x)^{n} \frac{(1+x)^{n+1}-x^{n+1}}{(1+x)-x}\tag*{}$

$\displaystyle=[x^{n}]((1+x)^{2n+1}-(1+x)^{n}x^{n+1})\tag*{}$

$\displaystyle\binom{2n+1}{n}\tag*{}$

Tweet

Postingan terkait:

Ditulis Mohammad_fatshira — Thursday, August 29, 2019 — 1 Comment — Mathematics